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Le produit en croix et les équations à fractions

Mathématiques · Algèbre S3 13 minutes

La règle fondamentale des proportions (a/b = c/d équivaut à ad = bc, b et d non nuls) pour résoudre des équations avec des fractions, en justifiant chaque étape par un principe d’équivalence.

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Ce que l'élève retient

Si b et d ne sont pas nuls, a/b = c/d équivaut à a × d = b × c : le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

  • Le produit en croix vient du principe 2 : on multiplie les deux membres par b × d.
  • Je garde les parenthèses autour d’un numérateur qui a plusieurs termes.
  • Avec plus de deux termes, je multiplie chaque terme par un dénominateur commun.
  • Un dénominateur ne peut jamais valoir 0.
  • Je vérifie ma solution dans l’équation de départ.

Exemples : x/6 = 5/3 → 3x = 30 → x = 10 · (x + 1)/4 = (x − 2)/3 → 3(x + 1) = 4(x − 2) → x = 11 · x/2 + x/3 = 10 → 3x + 2x = 60 → x = 12

Comment se passe la leçon

  1. Une recette à agrandir
  2. Pourquoi en croix ?
  3. La règle fondamentale des proportions
  4. Quatre équations
  5. Attention, pièges !
  6. À toi de jouer !
  7. Ce que je garde

Une accroche, une manipulation, la règle, des exemples, les pièges, des exercices corrigés (deux essais, une explication à chaque fois) et un mémo à imprimer. Tout peut être lu à voix haute.

Dans les programmes officiels

D'après les textes officiels (Référentiels de la Fédération Wallonie-Bruxelles) :

  • MA-S3-054Justifier les étapes d’une résolution d’équation, à l’aide des principes d’équivalence et de la règle fondamentale des proportions. S3 · 3.2 Opérer sur des nombres et sur des expressions algébriques
  • MA-S3-058Résoudre une équation du premier degré à une inconnue du type « ax+b=cx+d », « a, b, c, d » étant des nombres entiers ou des nombres rationnels. S3 · 3.2 Opérer sur des nombres et sur des expressions algébriques
  • MA-S3-060Résoudre une équation en utilisant la règle du « produit en croix » (règle fondamentale des proportions). S3 · 3.2 Opérer sur des nombres et sur des expressions algébriques

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